Zusammenfassung:
Die folgenden Überlegungen
-- Kraftstoff-Verbrauch (Liter/km) ~ (Geschwindigkeit)2
-- erforderliche Leistung (kW) ~ (Geschwindigkeit)3
gelten nur für den Geschwindigkeitsbereich, bei dem der Strömungs-Widerstand die wichtigste Rolle spielt. Für einen Bagger oder Panzer ist der Strömungs-Widerstand (wegen der geringen Geschwindigkeit) zu vernachlässigen, für einen PKW, ein Schiff und besonders für ein U-Boot jedoch ausschlaggebend!
Bis vor 1 Jahr wohnte meine Tochter in Berlin. Etwa alle 2 Monate fuhr ich die ca. 600 km (fast alles Autobahn) mit meinem Ford Transit (von Sankt Augustin nach Berlin Friedrichshain), um sie und meine Enkel zu besuchen.
Ford Transit Turbo Diesel 92 kW
Ich hatte bemerkt, dass ich bei Vollgas (mein Transit schaffte 160 km/h!) doppelt soviel Sprit für die Fahrt verbrauchte wie bei 90 km/h.
Von der Nervenanspannung bei der hohen Geschwindigkeit ganz zu schweigen.
Deshalb benutzte ich die lange Autobahn-Fahrt als Test: Gibt es einen klaren Zusammmenhang zwischen Tempo und Spritverbrauch?
An der Tankstelle Schloss Röttgen auf der A 59 tankte ich voll und nach genau 555 km an der Tankstelle der Raststätte Grunewald auf der A 113 kurz vor Berlin tankte ich wieder voll. Der Differenzbetrag war dann der Spritverbrauch auf 555 km.
10-mal schaffte ich es, die Autobahn-Strecke -bis auf ein paar Überholvorgänge- mit der jeweiligen konstanten Geschwindigkeit durchzustehen.
Bis zu einer unteren Geschwindigkeit von 85 km/h gab es keine Probleme. Da konnte ich im LKW-Verkehr praktisch "mitschwimmen". Langsamer (z.B. 70 km/h) habe ich zwar versucht; es gab aber Ärger mit den mich ständig überholenden LKW.
Bei einem Geschwindigkeitsversuch von 140 km/h (mein Transit macht 155 km/h Spitze) musste ich ständig auf der Überhol-Spur fahren. Das war mir nun doch zu aufreibend.
Deshalb bewegen sich die 10 Fahrversuche im Bereich 85 bis 125 km/h.
Es ergaben sich die folgenden Messwerte:
km/h |
90 (2 mal) |
93 (2 mal) |
95 (2 mal) |
100 |
105 |
115 |
125 |
l /100 km |
6,7; 6,7 |
7,0; 7,1 |
7,5; 7,5 |
8,1 |
8,3 |
11,0 |
13,0 |
Beim Auftragen der Werte auf einfach logarithmischem Millimeter-Papier ergab sich eine Gerade.
Die Ausgleichs-Gerade hatte die Eckpunkte
100 km/h==>6,0 l und 130 km/h==>15,0 l
Aus der Steigung konnte man auf einen quadratischen Zusammenhang schließen
Verbrauch = prop u2
Eine genaue Ausrechnung der Steigung der Ausgleichs-Geraden ergab für den Verbrauch in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit:
V = - 0,74 + 0,93 · u2 /1000 (V = l/100 km; u = km/h)
Erstaunlicherweise sinkt oder steigt der Verbrauch nicht linear mit der Geschwindigkeit, sondern exponentiell.
Unser Steinzeit-Gehirn denkt „linear“: „Wenn ich 50 % schneller (bzw. langsamer) fahre, dann brauche ich halt 50 % mehr
(bzw. weniger) Sprit.“
Für exponentielle Verknüpfungen -„doppelt so schnell, 4 mal so viel“- fehlt uns einfach die
Vorstellungskraft.
Im Jahrbuch "Das Neue Universum Band 99 (1979) fand ich durch Zufall auf der Seite 188 einen Bericht über den Stromlinien-Versuchswagen ARVW (Cw von 0,15!). Der Spritverbrauch des serienmäßigen 2,4 l VW-Dieselmotors lag zwischen 4,7 Liter (bei 200 km/h), 6,0 Liter (bei 250 km/h) und 13,7 Liter (bei 362 km/h).
Auch hier ergab sich eine quadratische Abhängigkeit:
Leider habe ich vergessen, wie man die Formel der Luftwiderstands-Leistung
NL = ρ/2 · cw · F · u3 (W bzw. kW)
nach du differenziert.
Da von der Dimension her gesehen N / u = kW/(Strecke/t) = kWh/Strecke = Liter/km beträgt, muss man auch rechnerisch zu meiner empirisch gefundenen Beziehung kommen:
kWh/km =~ Liter/100 km =~ u2
Wenn der Verbrauch auf Grund des Luftwiderstandes
V = const. · u2 ist, so verhalten sich die Verbrauche V1 und V2 bei verschiedenen Geschwindigkeiten u1 und u2 wie
V1 / V2 = (u1/u2)2
Da die Wurzel ½ = 0,7 und die Wurzel 2 = 1,4 ist, ergibt sich:
Halber Spritverbrauch bei 0,7 facher Geschwindigkeit und
Doppelter Spritverbrauch bei 1,4 facher Geschwindigkeit
anders ausgedrückt:
30 % langsamer ergibt den halben Spritverbrauch
40 % schneller verdoppelt den Spritverbrauch (Liter/ 100 km)
Lohnt sich das Schnellfahren?
Natürlich ist klar, dass eine Fahrt mit 140 km/h anstrengender ist als eine Fahrt mit 90 km/h. Das Argument der Gegner von Geschwindigkeits-beschränkungen auf deutschen Autobahnen ist immer wieder das Ermüden durch das monotone Fahren ohne den „Kick“ des gelegentlichen (oder auch ständigen) Überholens.
Auch für mich war es recht langweilig mit 85 km/h stundenlang einem LKW hinterherzufahren. Auf der anderen Seite war ich nach einer
140 km/h -Fahrt dermaßen angespannt, dass ich danach noch stundenlang kribbelig war.
Wenn ich 85 km/h fuhr brauchte ich für die Strecke bis zur Stadtgrenze Berlin 6 ½ Stunden (die halbe Stunde Pause nicht berücksichtigt).
Wenn ich 130 bis 135 fuhr, dauerte die Fahrt 4 ½ Stunden.
Ich hatte also 2 Stunden „gewonnen“.
Der Preis dafür waren 50 Liter Diesel. Bei einem Preis von durchschnittlich 1,35 € je Liter waren das 68 Euronen. (bei 135 kam ich mit einer 80
Liter-Tankfüllung bis nach Berlin; bei 85 reichte die Tankfüllung noch für die Rückreise!)
68 Euro für 2 Stunden ergab einen fiktiven Stundenlohn von 33 Euro. Gar nicht übel!
Ich kam also relativ fit in Berlin an (man ist ja keine 50 mehr!) und hatte dazu noch fast
70 Euro mehr in der Tasche.
Und bei der Rückreise das gleiche noch einmal!
Fazit:
Wenn man keinen Termindruck hat, ist es gut für die Nerven und auch für den Geldbeutel (und natürlich auch für den Motor und für die Umwelt und, und, und . . . ), wenn man zügig, aber nur mit
ungefähr 2/3 der Höchstgeschwindigkeit fährt.
Man muss sich ja nicht stur -wie ich bei meinen Messungen- an die „ruhige“ Geschwindigkeit halten. Ab und zu kann man mal sprinten; z.B. um eine LKW-Kolonne zu überholen oder um den Puls
etwas höher zu bringen.
Einige Gedanken zum Luftwiderstand
Im Folgenden werde ich den Begriff „Widerstand“ im Sinne von „Leistung“ (und nicht, wie physikalisch richtig „Kraft“) verwenden. Leistung(N) und Kraft (F) hängen über die Geschwindigkeit (v)zusammen. ( dN/dv = F)
Jeder kennt das vom Radfahren: Bei Gegenwind wird’s schwierig. Wenn man nicht aufrecht fährt, sondern sich auf den Lenker niederbeugt, wird’s etwas leichter.
Wenn Sie im Auto bei 130 km/h die Hand zum Fenster ’raushalten, spüren Sie den Luftwiderstand. Und zwar bei flacher Hand weniger und bei aufgestellter Hand mehr. Wobei es dabei noch einen Unterschied macht, ob man die Finger spreizt oder geschlossen hält. Obwohl da ja die Querschnittsfläche gleich bleibt. Es ist also nicht nur die Geschwindigkeit und die Fläche, sondern auch die Form der Fläche ausschlaggebend.
Was uns beim Fahrrad und Auto behindert, ist bei einem Segelschiff die treibende Kraft. Hier drückt der Wind (= bewegte Luft) auf die Fläche (= Segel) und die dabei resultierende Kraft wird in Geschwindigkeit umgewandelt.
Für den Luftwiderstand gilt:
NL = ρ/2 · cw · F · u3 (W bzw. kW)
[NL] = W
[ρ] = kg/m3 = Dichte der Luft ( bei 20° und 60% Luftfeuchte = 1,199)
[cw] = Luftwiderstands-Beiwert
[F] = m2 = Stirnfläche
[u] = m/s = Geschwindigkeit
Beispiel 1
Ein Radfahrer fährt aufrecht (Hollandrad) mit 15 km/h bzw. mit 30 km/h. Seine Stirnfläche (aufrecht) wird mit 0,6 m2 und sein cw-Wert mit 1,2 angenommen.
Es ergibt sich:
N 15 km/h = 30 W
N30 km/h = 250 W
Bei der doppelten Geschwindigkeit muss der arme Kerl 8-mal soviel leisten und kommt an die Grenze seiner körperlichen Leistungsfähigkeit.
Wenn er sich“ duckt“ reduziert sich sein cw-Wert auf 0,85 und seine Stirnfläche auf 0,4.
Dabei halbiert sich der Luftwiderstand ungefähr und statt 250 Watt muss er bei 30 km/h nur noch 120 Watt leisten! Das ist zu schaffen!
Beispiel 2
Für ein Segel gilt etwa
NL = ca. 0,3 ·F ·u3
Bei stürmischem Wind, d.h. Windstärke 8-9 Beaufort (20 m/s bzw. 75 km/h bzw. 45 kn), drückt der Wind dann mit ca. 2-2,5 kW auf jeden Quadratmeter Segelfläche.
Das einzige jermals gebaute Fünfmastvollschiff, die PREUSSEN, hatte 5560 m2 Segelfläche. Und erreichte mit 19 kn Durchschnittsfahrt das höchste Etmal der Seeschiffsgeschichte.
Bei dieser extremen Situation wurde das Segelschiff mit erstaunlichen
15.000 PS „Wind“ angetrieben.
(Die extrem schnellen Katamarane des America Cup 2019 hatten ca. 300 m2 Segelfläche und fuhren damit mit 50 kn = 90 km/h drei Mal schneller als der Wind!)
Der Einfluss des Luftwiderstandes auf die Gesamtleistung eines Fahrzeug-Motors
Die notwendige Gesamtleistung (kW) des Motors bei einer bestimmten Geschwindigkeit beträgt
NGesamt = NLuftwiderstand + NRollreibungswiderstand + Ninnere Reibung usw.
Luftwiderstand NL
NL = ρ/2 · cw · F · u3 (W bzw. kW)
= Leistung zur Überwindung des Luftwiderstandes.
Im luftleeren Raum würde sie NULL werden. Sie spielt bei geringen Geschwindigkeiten keine Rolle. So bringt es wenig, eine Schubkarre, einen Traktor oder einen Panzer stromlinienförmig zu umkleiden. Bei meinen Fahrversuchen mit Geschwindigkeiten von mehr als 80 km/h spielt dieser Teil der Leistung die überwiegende Rolle.
Sie wächst -wie bereits erläutert- in der 3. Potenz zur Geschwindigkeit. D.h. Bei der doppelten Geschwindigkeit ist sie 2 x 2 x 2 = 8 mal größer und bei einer Verdreifachung der Geschwindigkeit muss die Leistung 3 x 3 x 3 = 27 mal größer sein!
Der cw -Wert gibt an, wie groß der Luftwiderstand bezogen auf 1 m2 ist.
Je kleiner dieser Wert ist, desto „windschnittiger“ ist das Fahrzeug. So hat eine kreisförmige Platte einen cw -Wert von 1,11, ein aufrecht fahrender
Radfahrer einen cw -Wert von 1,2 und das erwähnte „Zigarren-Rennauto“ von VW 0,15.
Mein Ford Transit hat einen sehr ordentlichen cw -Wert von 0,37 !
Bei der Berechnung des Luftwiderstandes kommt zum cw -Wert noch die „Stirn-Fläche F“ hinzu. Das ist jene Fläche, die als Schatten auf einer Wand erscheint, wenn das Auto genau von Vorne mit einem Scheinwerfer angestrahlt wird.
Bei meinem Ford Transit ist das Breite mal Höhe minus Bodenfreiheit = 4,8 m2.
Je glatter und weniger zerklüftet eine Karosserie ist, desto weniger drückt der Fahrtwind dagegen. Ein Pinguin kommt auf einen cw --Wert von 0.03, ein Tropfen (vorne rund, hinten spitz) ist noch effektiver mit einem cw --Wert von 0,02.
Je schneller ein Auto fährt, desto höher ist dieser Effekt. Ab Tempo 60 ist der Luftwiderstand höher als die beiden anderen Widerstände. Ab Tempo 120 werden 90 % des Sprits verbraucht, um gegen den Wind anzukommen
[NL] = kW ≡ kWh/h ≡ Liter/h [ρ] = kg/m3 = Dichte der Luft ( bei 20° und 60% Luftfeuchte = 1,199) [cw] = Luftwiderstands-Beiwert [F] = m2 = Stirnfläche [u] = m/s = Geschwindigkeit |
Welche Leistung frisst der Luftwiderstand bei meinem Transit?
Es gilt
NL = ρ/2 · cw · F · u3 (W bzw. kW)
= Leistung zur Überwindung des Luftwiderstandes.
NL = 0,6 . 0,37 . · 4,8 · (ukm/h/3,6)3 [W]
= 0,023 · ukm/h3 [W]
Bei 80 km/h = 12 kW
bei 150 km/h = 78 kW
D.h. bei ca. 150 km/h erreicht mein Transit seine Maximalgeschwindigkeit, da 78 von seinen 92 kW Motorleistung vom Luftwiderstand aufgefressen wird. Der Rest bleibt für Rollreibungswiderstand und inneren Widerstand.
Der Spritverbrauch in Liter/Stunde entspricht der (thermischen) Energie des verbrauchten Diesels (Nthermisch = 10 kWh/Liter).
Wenn ich in 1 Stunde 10 Liter Diesel „verbrenne“, hat mein „Brenner“ eine Leistung von 10 Liter/Stunde x 10 kWh/Liter
= 100 kW.
So kann man leicht den Wirkungsgrad bei der jeweiligen Geschwindigkeit berechnen.
Es gilt
Verbrauch (l/h) = Verbrauch (l/100km) · 1/100 · Geschwindigkeit (km/h)
und
Thermische Leistung (kW) = 10 (kWh/l) · Verbrauch (l/h)
Geschwindigkeit |
85 |
130 |
Verbrauch (l/100 km) |
6,0 |
15,0 |
Luftwiderstand NL (kW) |
14 |
51 |
Thermische Leistung Nthermisch (kW) |
51 |
195 |
Wirkungsgrad (NL /Nthermisch) |
0,27 |
0,26 |
Rollreibungswiderstand NR
NR = Masse · Reibungszahl · u (W bzw. kW)
= Leistung zur Überwindung der Rollreibung
Hier spielen das Material der Reifen, die Lager, der Straßenbelag usw. (= Reibungszahl), die Masse des Fahrzeugs und die Geschwindigkeit eine Rolle.
Es ist klar, dass man eine Karre auf weichem Sandboden schlechter ziehen kann als auf einer Straße. Außerdem rollen Gummireifen bei einer Karre leichter als Eisenreifen. Außerdem ist klar, dass man eine schwere Karre schlechter ziehen kann als eine leichte.
Und: Für die doppelte Geschwindigkeit braucht man die doppelte Kraft (und damit die doppelte Leistung).
Gäbe es den Luftwiderstand nicht, wäre dieser Widerstand (zusammen mit der inneren Reibung) die bestimmende Größe.
Auszug aus gdtg-rundumwissen.de:
Bei hohen Geschwindigkeiten steigt der Einfluss des Luftwiderstandes, der während der Fahrt verdrängt werden muss, exponentiell an. Da der Rollwiderstand nur linear ansteigt, wird sein Anteil am Kraftstoffverbrauch mit zunehmender Geschwindigkeit kleiner.
Die unten stehenden Grafiken zeigen für PKW und LKW, wie sich Roll- und Luftwiderstand mit zunehmender Geschwindigkeit entwickeln.
Im Vergleich zu PKW, hat bei LKW der Rollwiderstand im unteren Geschwindigkeitsbereich einen wesentlich höheren Einfluss auf den Kraftstoffverbrauch: bei 40 km/ h ist der Rollwiderstand doppelt so hoch wie der Luftwiderstand. Im Bereich der von LKW einzuhaltenden Geschwindigkeitsgrenze (75 km/h) allerdings, halten sich Rollwiderstand und Luftwiderstand in etwa die Waage.
Welche Strecke legt mein Transit im 5. Gang bei
1 Kurbelwellen-Umdrehung bzw. bei jeder Explosion zurück?
Geschwindigkeit bei 2000 U/min = 90 km/h (im 5. Gang)
d.h. 1500 Meter pro Minute (90.000 : 60) und damit 1500/2000 = 0,75 Meter pro Umdrehung
Da bei einem 4-Zylinder-Motor 2 Explosionen pro Umdrehung stattfinden, legt das Fahrzeug demnach bei jeder Explosion 0,375 m zurück.
Wieviel Diesel wird pro Explosion in den jeweiligen Zylinder eingespritzt?
Bei einem Spritverbrauch von 6,7 l/100 km (90 km/h; 5. Gang) ergeben sich 0,067 ml pro Meter. Da auf jeden Meter 2,67 Explosionen stattfinden (1/0,375), erfordert das 0,025 ml Diesel pro Explosion.
Das sind 25 Mikroliter.
20 Tropfen Diesel ergeben 1 ml. Dann sind das 0,5 Tropfen Diesel, die pro Explosion mit 2000 bar auf plus/minus 1 % Genauigkeit in den Zylinder gedrückt werden müssen. Ein Wunder der Ingenieurs-Kunst!
Mit 1 Teelöffel Diesel (5 ml) werden 3,5 Tonnen Eisen 75 Meter weit befördert.
Da merkt man erst, welche Energie im Treibstoff steckt!
Man kann es kaum glauben, aber 1 Liter Diesel enthält soviel Energie wie 10 kg Nitroglycerin bzw. TNT.
Ist der Spritverbrauch unabhängig von der Geschwindigkeit?
Wenn ich „Gas gebe“, d.h. die Drehzahl und damit die Zahl der Explosionen pro Sekunde erhöhe, steigt die zurückgelegte Strecke proportional dazu. Da ja -wie bereits
berechnet- pro Explosion 38 cm Straße zurückgelegt werden.
D.h.: Ohne Berücksichtigung des Luftwiderstandes wäre der Verbrauch in Liter pro Kilometer immer der gleiche. Egal, wie schnell ich fahre.
Fahre ich schneller (höhere Drehzahl) steigt zwar mein Spritverbrauch pro Zeiteinheit. Ich lege aber die Strecke in einer kürzeren Zeit zurück. Somit wäre
der Spritverbrauch auf die Strecke bezogen (Liter/100 km) unabhängig von der Geschwindigkeit!
Für eine Rakete im Weltraum wäre es egal, ob sie mit der doppelten (oder x-fachen) Geschwindigkeit fliegt. Der Treibstoffverbrauch pro Zeit ist
zwar doppelt (x-fach); sie braucht aber nur die halbe (x-tel) Zeit bis zum Ziel. Und deshalb die gleiche Menge pro Strecke. Mit dem Unterschied, dass sie schneller am Ziel
ist.
Schön wär's, wenn das auch auf der Autobahn so wäre!
Zusatz-Bemerkung:
Bei meinen Recherchen über die deutschen U-Boote des 2. Weltkrieges fand ich heraus, dass meine gefundenen Erkenntnisse über die quadratische Abhängigkeit des Kraftstoff-Verbrauches von der Geschwindigkeit jedem U-Boot-Kommandant bekannt waren.
Bei einem (U-)Boot spielt der Strömungs-Widerstand (anders als bei einem Auto) schon bei geringer Geschwindigkeit die Hauptrolle.
Für die Leistung der Maschine galt das „Kubik-Gestz“:
N2 = N1 x (u2/u1)3
d.h. um z.B. 50 % schneller zu fahren, musste die Maschine die 1,5 3 = 3,5 fache Leistung bringen. Dementsprechend waren die Batterien bei schneller Unterwasserfahrt (z.B. um einen Geleitzug zu verfolgen) sehr schnell erschöpft.
Das galt und gilt immer noch für die notwendige Maschinenleistung von (Kriegs-)Schiffen:
Wenn z.B. ein Passagierdampfer oder ein Zerstörer statt mit 25 Knoten 35 Knoten schnell fahren soll, so braucht er dafür fast die 3-fache
Maschinen-Leistung.
==> (35/25)³ = 2,8
Dies war bei den großen Linern der 20er und 30er Jahre des 20. Jahrhunderts mit 200.000 bis 300.000 PS schon fast nicht mehr bezahlbar, bzw. technisch durchführbar. Von der enormen Kostensteigerung durch den Treibstoff-Mehrverbrauch abgesehen. Und so endete auch der Wettlauf um das "Blaue Band".
Für den Kraftstoff-Verbrauch des Diesel-Motors galt (analog meiner Spritverbrauch-Formel) das „Quadrat-Gestz“:
V1 / V2 = (u1/u2)2
umgeformt:
V2 = V1 x (u2/u1)2
d.h. bei einer 50 % schnelleren Fahrt stieg der Verbrauch auf das 1,52 = 2,3 fache.
Entsprechend reduzierte sich der Brennstoff-Verbrauch auf die Hälfte, wenn nur mit 3/4 Geschwindigkeit gefahren wurde.
Die maximale Fahrstrecke eines VIIc-U-Bootes (114 m³ Kraftstoff-Vorrat) betrug
8.500 Seemeilen bei 10 Knoten Fahrt,
6.500 Seemeilen bei 12 Knoten Fahrt
und nur 3.250 sm bei 17 Knoten Fahrt.
Der entsprechende Verbrauch war
13 l/sm bei 10 kn
17,5 l/sm bei 12 kn
35 l/sm bei 17 kn
Bei „Voll-Gas“ schluckten die Dieselmotoren also pro Seemeile fast 3 mal so viel!
Formel:
(17/10)2 = 2,9; das ist ziemlich genau 8.500/3.250 bzw. 35/13
Rein theoretisch wäre der Verbrauch bei 5 kn (statt 10 kn) nur noch
13 x (5/10)² = 3,3 l/sm , aufgerundet ca. 3,5 l/sm und damit die Reichweite sagenhaft 32.000 sm!
Natürlich gilt diese Faustformel nur ab einer gewissen Geschwindigkeit, sonst wäre der Verbrauch rechnerisch bei 0,5 kn nur 0,03
l/sm bzw. die Reichweite ca. 3,5 Millionen sm !!