Pi mal Daumen - oder:
”Wie genau hätten Sie es denn gerne?”
Die Flächen- bzw. Volumenberechnung von geradlinig begrenzten Flächen ùnd Körpern ist für den ”Normalbürger” noch einigermaßen überschaubar:
So lässt sich die Fläche eines Fußballplatzes durch einfache Multiplikation der Länge mit der Breite leicht ausrechnen:
Fläche = Länge x Breite
Den Inhalt (das Volumen) einer Kiste erhält man durch Multiplikation von Länge mal Breite mal Höhe.
Volumen = Länge x Breite x Höhe
Ein Rechteck, bei dem die Länge und die Breite gleich sind, nennt man Quadrat.
Wenn man die Fläche eines Quadrates mit der Seitenlänge d ausrechnen will, so multipliziert man einfach
Breite x Höhe = d x d = d2
Statt d x d wird einfach d2 geschrieben. (gesprochen ”d-Quadrat”)
Eine ”Kiste”, bei der alle Seiten die gleiche Länge
haben, nennt man Würfel (oder vornehmer Kubus).
Will (oder muss!) man das Volumen eines Würfels mit der Seitenlänge d wissen, so rechnet man
Volumen = Breite
× Länge
× Höhe = d x d x d = d3
(gesprochen ”d hoch 3")
Die hochgestellte 3 bedeutet nichts anderes, als dass die Zahl, die vor ihr steht, dreimal mit sich selbst malgenommen werden muss!
(Beispiel: 5³ = 5 x 5 x 5 = 125 oder 10³= 10 x 10 x 10 =1.000)
Soweit so gut! Doch mancher hat erhebliche Schwierigkeiten, wenn er die Fläche eines Kreises oder gar die Oberfläche und den Inhalt einer Kugel berechnen soll.
Dabei folgen diese Berechnungen ebenfalls recht einfachen Gesetzen, auch wenn darin ein seltsamer Faktor namens π (gesprochen Pi) vorkommt und den Unbedarften zunächst abschreckt.
Die Kreiszahl π
Für den Umfang eines Kreises mit dem Durchmesser d gilt:
U = π × d
oder anders ausgedrückt:
Die Kreiszahl π ist das Verhältnis von Umfang zum Durchmesser eines Kreises
oder noch einfacher:
Der Umfang eines Kreises ist Pi mal Durchmesser
(Wir merken uns „Pi mal Daumen"!)
Wie können wir uns diese seltsame Konstante Pi vorstellen ?
Angenommen, vor uns liegt ein quadratisches Grundstück mit der Seitenlänge d.
Wir starten bei Punkt A und laufen einmal ”außen herum”
Wie wir leicht einsehen, haben wir dann die Strecke 4 d zurückgelegt (dies ist der Umfang eines Quadrates mit der Seitenlänge d).
Wenn wir uns noch einmal auf den Weg machen und dabei die Ecken ”abkürzen”, d.h. ”im Kreis (innerhalb des Grundstücks) herumgehen”, wird unser Weg kürzer.
Bloß - um wieviel ?
Mathematisch ist unser neuer Weg ”der Umfang eines Kreises mit dem Durchmesser d”.
Klar ist, dass es weniger als 4 d ist - sonst wäre es ja keine Abkürzung!
Wir schätzen, dass es irgendwo zwischen 3 und 4 d liegt.
Eine weitere Erklärung dieses geheimnisvollen ”Faktors” hat sich im Gespräch mit meinem damals 9-jährigen Sohn Felix ergeben:
Angenommen, wir stehen vor einem (halbkugelförmigen) Berg. Um genau auf die gegenüberliegende Seite zu kommen, haben wir 3 Möglichkeiten:
1) senkrecht hoch, dann waagerecht, dann wieder senkrecht runter fliegen
2) halbkreisförmig über den Berg laufen
3) einen Tunnel durch den Berg graben.
Abgesehen, dass Fliegen (wenn man es kann) Spaß macht und dass es recht mühsam ist, einen Tunnel zu graben, ist der Weg 3 der kürzeste, der Weg 1 der längste und der Weg 2 (- der Halbkreis-) liegt dazwischen!
Die Variante 1 ist genau doppelt so lang wie der Tunnel. Dies ist einleuchtend, weil senkrecht hoch der gleiche Weg wie senkrecht runter ist.
Die Variante 2 liegt irgend wo dazwischen, also zwischen 1 und 2.
Felix schätzt ganz grob 1 1/2.
Nach dieser wirklich sehr großzügigen Betrachtung läge
das Verhältnis von halben Kreisumfang zum Kreisdurchmesser bei rund 1,5.
Damit haben wir den Wert von π mit roundabout 2 x 1,5 =
3 ”ermittelt”.
Erstaunlicherweise liegt dieser Wert nur 4,5 % unter dem exakten Wert! Nicht schlecht für einen Neunjährigen!
Für schnelle Abschätzungen hat sich folgende Eselsbrücke bewährt:
Je nach dem, was leicht zu rechnen ist, addiert man 5 % zum Durchmesser und multipliziert dann mit 3
oder man multipliziert den Durchmesser mit 3 und addiert 5 %.
In beiden Fällen liegt man nur ca. 0,3 % zu hoch!
Beispiel: Durchmesser 10 m:
1) 10 plus 0,5 =10,5; mal 3 = 31,5
2) mal 3 = 30; plus 1,5 = 31,5
Exakt: 10 mal pi = 3,1415...
Seit Jahrtausenden machen sich die Mathematiker Gedanken über diesen Faktor: Es ist die sogenannte Kreiszahl π (oder Ludolfsche Zahl).
π
Vor 3500 Jahre schätzten babylonische Mathematiker π auf 3 1/8.
Im Ahmes-Papyros(1650 v. Chr.) wird folgendes Problem beschrieben:
Ein kreisförmiges Feld hat einen Durchmesser von 9 Khel (dies muss wohl eine altägyptische Längeneinheit gewesen sein - ihr Wert spielt aber hier keine Rolle!). Wie groß ist seine Fläche?
Als Lösung wird folgendes Verfahren angegeben:
Ziehe 1/9 des Durchmessers ab und quadriere den Rest.
Schau’n wir mal, was dabei ‘rauskommt:
(Wir nennen den Durchmesser D und den Umfang A)
A = D x (1 - 1/9)2
D. h.: A = 64/81 x D
da aber A = π/4 x D, so ergibt sich , wenn man die beiden Gleichungen gleichsetzt
π/4 x D = 64/81 x D und damit für die Kreiszahl π = 4 x 64/81 = 3,16049...
Nach dieser einfachen Rechenmethode erhält man einen Wert, der nur etwa 0,6 % zu groß ist. Dies liegt wahrscheinlich auch im Bereich der damaligen Genauigkeit der Längenmessung und war für die alten Ägypter völlig ausreichend!
1 ½ Jahrtausende später - im 3. Jahrhundert vor Christus - errechnete Archimedes aus einem regelmäßigen 96-Eck den Wert 3 1/7 für die Kreiszahl π (was nur 0,4 % zu hoch liegt!).
Im 3. Jahrhundert erreichte der Chinese Lio Xia mit Hilfe eines Vieleckes mit 3072 gleichlangen Seiten den nächsten Gipfel: 3,14159. Nur 0,8 Millionstel (man sagt dafür auch ppm) über dem wahren Wert!
Im Alltag rechnen wir meist mit 3,14 - aber wir wissen, dass nach der 4 noch viele viele Stellen kommen.
Und es war (und ist heute noch) für die Mathematiker faszinierend festzustellen, ob die Zahlen irgendwann einmal zu Ende sind, oder sich vielleicht wiederholen.
Der Mathematiker und Professor der Kriegsbaukunst Ludolph van Ceulen (1540 - 1610), verbrachte sein ganzes Leben damit (natürlich ohne Rechenmaschine), um diese Zahl mühsam auf 32 Dezimalstellen zu berechnen. Er war so stolz auf diese Leistung, dass er in seinem Testament bestimmte, diese 32 Zahlen auf seinen Grabstein zu meißeln.
Als man übrigens vor einigen Jahren mit Hilfe eines Computers nachrechnete, stellte man fest, dass er sich ab der 27. Stelle verrechnet hatte. Er wird sich wohl im Grabe umgedreht haben!
Zur Zeit (Mitte 1997) steht übrigens der ”Rekord” eines Mathematikers namens Yasumasa Kanada von der Uni Tokio bei reichlich sechs Milliarden (!) Stellen hinter dem Komma! Aber die Ziffernfolge hört einfach nicht auf!
Diese Genauigkeiten von π sind im wahrsten Sinne des Wortes ”akademisch”. Wenn man mit p = 3,14 rechnet, beträgt die Genauigkeit 99,95 %; d.h. man hat eine Abweichung (vom tatsächlichen Wert) von 0,05 %. Bei einem Kreis von 1 m Durchmesser wären dies 1,6 mm.
Rechnen wir mit π = 3,141593, d.h. mit 6 Dezimalstellen, so beträgt die Abweichung nur ca. 0,00008 %. Bei der Erdkugel wären das etwa 4 m ”Ungenauigkeit” des Umfangs (vorausgesetzt wir könnten den Erd - Durchmesser überhaupt auf Meter genau messen!). Mit 25 Dezimalstellen könnte man schon den Umfang des Weltalls auf mm genau berechnen (wenn man den Durchmesser wüsste, bzw. auf Millimeter messen könnte!)
Und nun einige Faustformeln für die tägliche Praxis
Der Kreis
Wenn Sie sich vorstellen, dass Sie eine kreisförmige Tischplatte aus einem quadratischen Brett aussägen müssen, so erscheint es völlig logisch, dass dieses quadratische Brett den Durchmesser des Kreises besitzen muss.
Weiterhin logisch ist es dass nach dem Aussägen des Kreises (aus dem Quadrat) Abfall entsteht, bzw. der Kreis nur einen bestimmten Bruchteil der Fläche des ursprünglichen Quadrates besitzt. Wenn man die kreisförmige Platte wiegt und das Gewicht mit der ursprünglichen quadratischen Platte vergleicht, so erhält er einen Wert von etwa 80 %. Es entsteht ca. 20 % ”Verschnitt” (die ”Eckstücke”).
Die genaue Rechnung ergibt:
Fläche des Kreises A = π/4 × d²
Diese Formel heißt, dass die Fläche eines Kreises 3,14 / 4 der ”Fläche des ihm umgebenen Quadrates” (d × d) beträgt.
Der genaue Wert von π/4 beträgt 0,785398...
Für unsere Zwecke runden wir auf 0,8 auf. (Dabei beträgt der Fehler 1,9 %)
D.h. die Faustformel für die Berechnung einer Kreisfläche lautet:
Die Fläche des Kreises beträgt ca. 80 % der Quadratfläche
(Kreisdurchmesser = Seitenlänge des Quadrates)
Da im Feuerwehreinsatz meist mit geschätzten bzw. recht ungenauen Zahlen gerechnet wird, ist es nicht notwendig, dass man statt 80 % (0,8) den genauen Wert von π/4 verwendet !
Man kann auch folgende Eselsbrücken verwenden (je nachdem was leichter zu rechnen ist):
1) Durchmesser - 10 %; Ergebnis quadrieren (=>3 % zu hoch)
2) Durchmesser quadrieren; Ergebnis minus 20% (=>1,8 % zu niedrig)
Beispiel aus dem Feuerwehr-Bereich:
Ein kreisförmiger Tank hat ca. 20 m Durchmesser. Wieviel Kubikmeter Schaum müssen bei einer Schaumhöhe von 1 m aufgebracht werden?
Lösung:
Fläche A = ca. 0,8 × (20 × 20) = ca. 320 m2.
D.h. die Fläche beträgt ca. 320 m2.
Wenn 1 m hoch
geschäumt werden muss, sind ca. 320 m²
× 1 m = ca. 320 m3 notwendig.
Die ”Feuerwehr-Antwort” lautet (”pi mal Daumen”): Etwa 350 m³.
In Anbetracht der vielen Unwägbarkeiten eines Feuerwehreinsatzes ist dieser Wert völlig ausreichend!
Und nun zum (mathematisch) schönsten aller Körper:
Die Kugel
Das Volumen der Kugel
Ähnlich wie der Schreiner, der aus einem quadratischen Brett eine kreisförmige Tischplatte aussägt, gehen wir geistig folgendermaßen vor:
Wir basteln uns eine würfelförmige Schachtel, in die eine Kugel (z.B. ein Globus) genau hinein passt.
Oder noch besser schnitzen wir aus einem würfelförmigen Holz- oder Styropor- Stück eine Kugel.
Wie verhält nun sich das Volumen der entstandenen Kugel zum Volumen des ursprünglichen Würfels (d.h. zum Volumen des umgebenden Kubus) ?
Für das Volumen einer Kugel gilt die folgende Formel:
VK = π/6 ×d3
und für den Würfel
VW = d3
Dann wird das Verhältnis der Kugel zum umgebenden Kubus
VK /
VW = π/6 = ca.
52%
Deshalb kann man überschlagsmäßig sagen, (wobei der Fehler 4,5 % beträgt - und man sich natürlich fragen muss, ob man mit dieser Ungenauigkeit leben kann!):
Das Volumen einer Kugel beträgt ca. 50 % des Würfelvolumens
(wenn Kugeldurchmesser = Kantenlänge des Würfels)
Es ist ein merkwürdiges Phänomen, dass der menschliche Verstand Längen recht genau schätzen kann, bei Flächenschätzungen schon Schwierigkeiten bekommt, und bei Volumenschätzungen bzw. beim Vergleichen verschiedener Volumina oft völlig daneben liegt.
Benutzen sie folgende Frage als Test:
Wieviel mal
schwerer ist eine Kugel, die den doppelten Durchmesser wie die ursprüngliche besitzt?
Meistens werden sie als Antwort: ”doppelt so schwer”, oder ”vier mal so schwer” erhalten; fast nie jedoch die richtige Antwort: ”acht mal so schwer”!
Diese Beziehung: ”doppelter Durchmesser, acht mal soviel!” gilt übrigens nicht nur für Kugeln, sondern für alle ähnlichen Körper!
=>Ein doppelt so großer Hund wiegt und frisst (und kackt!) ganz grob gerechnet auch 8 mal so viel!
=>Ein doppelt so langes Schiff hat eine 8fache Tonnage.
Beispiel: Ein U-Boot-Kommandant sieht durch das Periskop ein feindliches Schiff. Es deckt 7 Strich seiner Optik ab. Er weiß: Bei der gleichen Entfernung würde ein 5.000 BRT-Schiff 5 Strich abdecken. Wie groß ist dieses Schiff?
Lösung (7/5)³ = 2,7 ==> das Schiff ist ca. 14-15.000 BRT groß
Beispiel: Die Granate der 8.8 cm Flak (der berühmten AchtAcht) wog 16 kg.
Wie schwer war die Granate der 12.8 cm Flak?
Lösung (12,8/8,8)³ = 3 ==>3 x 16 = 48 kg
Tatsächlich wog die 12.8 Granate 47 kg!
Auch die Eisverkäufern nutzen diese Tatsache
des Kubuk-Gesetzes aus:
Macht man (statt einer Preiserhöhung) die Eiskugel nur noch halb so „dick“, kann man aus 1 alten Kugel 8 neue machen.
Oder eleganter: Man reduziert den Durchmesser um nur 20% -was dem Auge kaum auffällt- und kommt so auf das halbe Volumen!
Noch schlimmer wird das ”Verschätzen” wenn es sich um den 3-fachen (10-fachen) Durchmesser handelt.
Dann ändert sich das Volumen (und bei gleicher Dichte auch die Masse) um das 27-fache (1000-fache)!
Der Grund ist der sogenannte Ähnlichkeits-Satz. Er sagt, dass sich das Volumen von ähnlichen Körpern wie die 3. Potenz von 2 miteinander vergleichbaren Längen verhält.
Demnach gilt für den 3-fachen Durchmesser:
Volumen = 33 = 3 x. 3 x 3 = 27
und für den 10-fachen Durchmesser:
Volumen = 10³ = 10 x. 10 x 10 = 1.000
Die Oberfläche der Kugel
Für die Oberfläche einer Kugel gilt die Formel:
A = π × d²
Da der der größte Querschnitt der Kugel (die ”Äquatorialfläche”) π/4 x d2 ist, ergibt sich die Tatsache, dass die Oberfläche einer Kugel genau das 4-fache des größten Querschnitts beträgt!
Kennt man den Umfang und den Durchmesser, so lässt sich die Oberfläche der Kugel ohne π ausrechnen. Sie ist -wie schon Archimedes beschrieb- gleich der Fläche des umhüllenden Zylinders:
A = U x d
Beispiel: Wie groß ist die Oberfläche der Erde?
Aus der Schule
weiß ich noch:
Umfang der Erde = 40.000 km und Durchmesser = 12.000 km
Dann ist die Oberfläche = 40 x 12 = 480 und 1.000 x 1.000 = 1 Million,
also 480 Mio. km2
Tatsächlich sind es 9 % mehr, nämlich 510 Mio. km.
Der Grund: Der
Durchmesser beträgt nicht 12.000 km, sondern am Äquator 12.756 und über die Pole 12.714 km. (Die Erde ist quasi 42 km "dicker" als "höher".)
Die Oberfläche eines Würfels beträgt das 6-fache des Querschnitts.
Die Kugel ist der ”engste” Körper, d.h. der Körper mit der geringsten Oberfläche. (Aus diesem Grund sind Seifenblasen oder Wassertropfen Kugeln und keine Würfel!)
Die Oberfläche des umgebenden Würfels (im Beispiel
oben die Schachtel) beträgt
6
× d², was man sich anhand eines Spielwürfels sehr leicht vor Augen
führen kann.
Das Verhältnis der Oberfläche der Kugel zur Oberfläche des Würfels beträgt demnach:
π x d2 / 6 x d2 = π/6 = 0,5236...
Deshalb kann man überschlagsmäßig sagen, (wobei der Fehler 4,5 % beträgt - und man sich natürlich fragen muss, ob man mit dieser Ungenauigkeit leben kann!):
Die Oberfläche einer Kugel beträgt ca. 50 % der Würfelfläche
(wenn Kugeldurchmesser = Kantenlänge des Würfels)
Erstaunlicherweise ist das Verhältnis von Kugel zu Würfel sowohl beim
Volumen als auch bei der Oberfläche gleich:
Nämlich π/6
= 52 %.
Ein Beispiel aus der Feuerwehr-Praxis:
Für die
Berieselung eines kugelförmigen Flüssiggas-Behälters sind 100 l Wasser je Stunde und Quadratmeter vorgeschrieben. Welche Wasserleistung muss für eine Kugel von 15 m Durchmesser sichergestellt
sein? Wieviel Feuerlösch-kreiselpumpen werden benötigt?
Lösung:
Wir stellen uns zunächst einen Würfel von 15 m Seitenlänge vor.
Dessen Oberfläche beträgt dann 6 Seiten a 15 m × 15 m = 1350 m2.
Da (wie in der o.g. Faustformel erläutert), die Oberfläche eine Kugel mit dem gleichen Durchmesser etwa die Hälfte beträgt, ergibt sich als Lösung für die Kugel:
50 % von 1350 = ca. 700 m2.
Wenn für jeden Quadratmeter 100 l/h notwendig sind, muss insgesamt eine Wasserleistung von
700 × 100 = 70.000 l/h vorgesehen werden.
Da die Feuerwehr die Literleistung meist in Liter pro Minute angibt, dividiert man diesen Wert durch 60 (1 Stunde = 60 min) und erhält
70.000 : 60 = ca. 1200 l/min
Die Nenn-Leistung einer Feuerlösch-Kreiselpumpe beträgt etwa 800 l/min. Deshalb braucht man 2 Pumpen.