Pi mal Daumen - oder:

 

”Wie genau hätten Sie es denn gerne?”

 

  

Die Flächen- bzw. Volumenberechnung von geradlinig begrenzten Flächen ùnd Körpern ist für den ”Normalbürger” noch einigermaßen überschaubar:

 

       So lässt sich die Fläche eines Fußballplatzes durch einfache Multiplikation der Länge mit der Breite leicht ausrechnen:

       Fläche = Länge x Breite

 

      Den Inhalt (das Volumen) einer Kiste erhält man durch Multiplikation von Länge mal Breite mal Höhe.

        Volumen = Länge x Breite x Höhe

 

      

      Ein Rechteck, bei dem die Länge und die Breite gleich sind, nennt man Quadrat.

 

       Wenn man die Fläche eines Quadrates mit der Seitenlänge d ausrechnen will, so multipliziert man einfach

 

       Breite x Höhe = d x d = d2

 

       Statt d x d wird einfach d2 geschrieben. (gesprochen ”d-Quadrat”)

 
Eine ”Kiste”, bei der alle Seiten die gleiche Länge haben, nennt man Würfel (oder vornehmer Kubus).

 

       Will (oder muss!) man das Volumen eines Würfels mit der Seitenlänge d wissen, so rechnet man

       Volumen = Breite × Länge × Höhe = d x d x d = d3
(gesprochen ”d hoch 3")

 

       Die hochgestellte 3 bedeutet nichts anderes, als dass die Zahl, die vor ihr steht, dreimal mit sich selbst malgenommen werden muss!

 

                        (Beispiel:       5³ = 5 x 5 x 5 = 125    oder 10³= 10 x 10 x 10 =1.000)

 

 

Soweit so gut! Doch mancher hat erhebliche Schwierigkeiten, wenn er die Fläche eines Kreises oder gar die Oberfläche und den Inhalt einer Kugel berechnen soll.

 

Dabei folgen diese Berechnungen ebenfalls recht einfachen Gesetzen, auch wenn darin ein seltsamer Faktor namens π (gesprochen Pi) vorkommt und den Unbedarf­ten zunächst abschreckt.

 

Die Kreiszahl π

 

 

 

 Für den Umfang eines Kreises mit dem Durchmesser d gilt:

 
 

U = π × d

 

 

oder anders ausgedrückt:

 

Die Kreiszahl π ist das Verhältnis von Umfang zum Durchmesser eines Kreises

oder noch einfacher:

 

Der Umfang eines Kreises ist Pi mal Durchmesser

 

(Wir merken uns „Pi mal Daumen"!)

  

Wie können wir uns diese seltsame Konstante Pi vorstellen ?

 

Angenommen, vor uns liegt ein quadratisches Grundstück mit der Seitenlänge d.

 

Wir starten bei Punkt A und laufen einmal ”außen herum”

Wie wir leicht einsehen, haben wir dann die Strecke 4 d zurückgelegt (dies ist der Umfang eines Quadrates mit der Seitenlänge d).

Wenn wir uns noch einmal auf den Weg machen und dabei die Ecken ”abkürzen”, d.h. ”im Kreis (innerhalb des Grund­stücks) herumgehen”, wird unser Weg kürzer.

Bloß - um wieviel ?

 

Mathematisch ist unser neuer Weg ”der Umfang eines Kreises mit dem Durchmesser d”.

Klar ist, dass es weniger als 4 d ist - sonst wäre es ja keine Abkürzung!

Wir schätzen, dass es irgendwo zwischen 3 und 4 d liegt.

 

 

Eine weitere Erklärung dieses geheimnisvollen ”Faktors” hat sich im Gespräch mit meinem damals 9-jährigen Sohn Felix ergeben:

 

Angenommen, wir stehen vor einem (halbkugelförmigen) Berg. Um genau auf die gegenüberliegende Seite zu kommen, haben wir 3 Möglichkeiten:

 

       1) senkrecht hoch, dann waagerecht, dann wieder senkrecht runter fliegen

       2) halbkreisförmig über den Berg laufen

       3) einen Tunnel durch den Berg graben.

Abgesehen, dass Fliegen (wenn man es kann) Spaß macht und dass es recht mühsam ist, einen Tunnel zu graben, ist der Weg 3 der kürzeste, der Weg 1 der längste und der Weg 2 (- der Halbkreis-) liegt dazwischen!

 

Die Variante 1 ist genau doppelt so lang wie der Tunnel. Dies ist einleuchtend, weil senkrecht hoch der gleiche Weg wie senkrecht runter ist.

 

Die Variante 2 liegt irgend wo dazwischen, also zwischen 1 und 2.

 

Felix schätzt ganz grob 1 1/2.

 

Nach dieser wirklich sehr großzügigen Betrachtung läge das Verhältnis von halben Kreisumfang zum Kreisdurchmesser bei rund 1,5.
Damit haben wir den Wert von
π mit roundabout  2 x 1,5 = 3 ”ermittelt”.

Erstaunlicherweise liegt dieser Wert nur 4,5 % unter dem exakten Wert! Nicht schlecht für einen Neunjährigen!                                                                                                                   

 

Seit Jahrtausenden machen sich die Mathematiker Gedanken über diesen Faktor: Es ist die sogenannte Kreiszahl π (oder Ludolfsche Zahl).

 

  π

 

  

Vor 3500 Jahre schätzten babylonische Mathematiker π auf 3 1/8.

  

Im Ahmes-Papyros(1650 v. Chr.) wird folgendes Problem beschrieben:

 

Ein kreisförmiges Feld hat einen Durchmesser von 9 Khel (dies muss wohl eine altägyptische Längeneinheit gewesen sein - ihr Wert spielt aber hier keine Rolle!). Wie groß ist seine Fläche?

 

Als Lösung wird folgendes Verfahren angegeben:

 

Ziehe 1/9 des Durchmessers ab und quadriere den Rest.

 

Schau’n wir mal, was dabei ‘rauskommt:

 

(Wir nennen den Durchmesser D und den Umfang A)

 

A  = D x (1 - 1/9)2

 

D. h.:   A = 64/81 x D

 

da aber A = π/4 x D, so ergibt sich , wenn man die beiden Gleichungen gleichsetzt

π/4 x D = 64/81 x D    und damit für die Kreiszahl π = 4 x 64/81 = 3,16049...

 

Nach dieser einfachen Rechenmethode erhält man einen Wert, der nur etwa 0,6 % zu groß ist. Dies liegt wahrscheinlich auch im Bereich der damaligen Genauigkeit der Längenmessung und war für die alten Ägypter völlig ausreichend!

 

1 ½ Jahrtausende später - im 3. Jahrhundert vor Christus - errechnete Archimedes aus einem regelmäßigen 96-Eck den Wert 3 1/7 für die Kreiszahl π (was nur 0,4 % zu hoch liegt!).

 

Im 3. Jahrhundert erreichte der Chinese Lio Xia mit Hilfe eines Vieleckes mit 3072 gleichlangen Seiten den nächsten Gipfel: 3,14159. Nur 0,8 Millionstel (man sagt dafür auch ppm) über dem wahren Wert!

  

Im Alltag rechnen wir meist mit 3,14 - aber wir wissen, dass nach der 4 noch viele viele Stellen kommen.

Und es war (und ist heute noch) für die Mathematiker faszinierend festzustellen, ob die Zahlen irgendwann einmal zu Ende sind, oder sich vielleicht wiederholen.

 

Der Mathematiker und Professor der Kriegsbaukunst Ludolph van Ceulen (1540 - 1610), ver­brachte sein ganzes Leben damit (natürlich ohne Rechenmaschine), um diese Zahl mühsam auf 32 Dezimalstellen zu berechnen. Er war so stolz auf diese Leistung, dass er in seinem Testament bestimmte, diese 32 Zahlen auf seinen Grabstein zu meißeln.

      Als man übrigens vor einigen Jahren mit Hilfe eines Computers nachrech­nete, stellte man fest, dass er sich ab der 27. Stelle verrechnet hatte. Er wird sich wohl im Grabe umgedreht haben!

 

Zur Zeit (Mitte 1997) steht übrigens der ”Rekord” eines Mathematikers namens Yasumasa Kanada von der Uni Tokio bei reichlich sechs Milliarden (!) Stellen hinter dem Komma! Aber die Ziffernfolge hört einfach nicht auf!

Diese Genauigkeiten von π sind im wahrsten Sinne des Wortes ”akademisch”. Wenn man mit p = 3,14 rechnet, beträgt die Genauigkeit 99,95 %; d.h. man hat eine Abweichung (vom tatsächlichen Wert) von 0,05 %. Bei einem Kreis von 1 m Durch­messer wären dies 1,6 mm.

 

Rechnen wir mit π = 3,141593, d.h. mit 6 Dezimalstellen, so beträgt die Abweichung nur ca. 0,00008 %. Bei der Erdkugel wären das etwa 4 m ”Ungenauigkeit” des Um­fangs (vorausgesetzt wir könnten den Erd - Durchmesser überhaupt auf Meter genau messen!). Mit 25 Dezimalstellen könnte man schon den Umfang des Weltalls auf mm genau berechnen (wenn man den Durchmesser wüsste, bzw. auf Millimeter messen könnte!)

 

 

Und nun einige Faustformeln für die tägliche Praxis

Der Kreis

Wenn Sie sich vorstellen, dass Sie eine kreisförmige Tischplatte aus einem qua­dratischen Brett aussägen müssen, so erscheint es völlig logisch, dass dieses qua­drati­sche Brett den Durchmesser des Kreises besitzen muss.

Weiterhin logisch ist es dass nach dem Aussägen des Kreises (aus dem Quadrat) Abfall entsteht, bzw. der Kreis nur einen bestimmten Bruchteil der Fläche des ursprünglichen Quadrates besitzt. Wenn man die kreisförmige Platte wiegt und das Ge­wicht mit der ursprünglichen quadratischen Platte vergleicht, so erhält er einen Wert von etwa 80 %. Es entsteht ca. 20 % ”Verschnitt” (die ”Eckstücke”).

 

Die genaue Rechnung ergibt:

 Fläche des Kreises             A =  π/4 ×

Diese Formel heißt, dass die Fläche eines Kreises  3,14 / 4  der ”Fläche des ihm umgebenen Quadrates” (d × d) beträgt.

Der genaue Wert von π/4 beträgt 0,785398...
Für unsere Zwecke runden wir auf 0,8 auf. (Dabei beträgt der Fehler 1,9 %)

 

D.h. die Faustformel für die Berechnung einer Kreisfläche lautet:

 
 

                        Die Fläche des Kreises beträgt ca. 80 % der Quadratfläche

                        (Kreisdurchmesser = Seitenlänge des Quadrates)

 

 

Da im Feuerwehreinsatz meist mit geschätzten bzw. recht ungenauen Zahlen gerechnet wird, ist es nicht notwendig, dass man statt 80 % (0,8) den genauen Wert von π/4 verwendet !

 

 

Beispiel:

 

Ein kreisförmiger Tank hat ca. 20 m Durchmesser. Wieviel Kubikmeter Schaum müssen bei einer Schaumhöhe von 1 m aufgebracht werden?

 

Lösung:

 Fläche A = ca. 0,8 × (20 × 20) = ca. 320 m2.

 D.h. die Fläche beträgt ca. 320 m2.

 

Wenn 1 m hoch geschäumt werden muss, sind ca. 320 m² × 1 m = ca. 320 m3 notwendig.
Die ”Feuerwehr-Antwort” lautet (”pi mal Daumen”): Etwa 350 m³.

 

In Anbetracht der vielen Unwägbarkeiten eines Feuerwehreinsatzes ist dieser Wert völlig aus­reichend!

 

 

Und nun zum (mathematisch) schönsten aller Körper:

 

Die Kugel

 

 

Ähnlich wie der Schreiner, der aus einem quadratischen Brett eine kreisförmige Tischplatte aussägt, gehen wir geistig folgendermaßen vor:

Wir basteln uns eine würfelförmige Schachtel, in die eine Kugel (z.B. ein Globus) genau hinein passt.

Oder noch besser schnitzen wir aus einem würfelförmigen Holz- oder Styropor- Stück eine Kugel.

 

Wie verhält nun sich das Volumen der entstandenen Kugel zum Volumen des ursprünglichen Würfels (d.h. zum Volumen des umgebenden Kubus) ?

 

Es ist ein merkwürdiges Phänomen, dass der menschliche Verstand Längen recht genau schätzen kann, bei Flächenschätzungen schon Schwierigkeiten bekommt, und bei Volumenschätzungen bzw. beim Vergleichen verschiedener Volumina oft völlig daneben liegt.

Benutzen sie folgende Frage als Test: Wieviel mal schwerer ist eine Kugel, die den doppelten Durchmesser wie die ursprüngliche besitzt?

Meistens werden sie als Antwort: ”doppelt so schwer”, oder ”vier mal so schwer” erhalten; (fast) nie jedoch die richtige Antwort: ”acht mal so schwer”!

Diese Beziehung: ”doppelter Durchmesser, acht mal soviel!” gilt übrigens nicht nur für Kugeln, sondern für alle ähnlichen Körper!
Ein doppelt so großer Hund wiegt und frisst ganz grob gerechnet auch 8 mal so viel!
Und ein doppelt so langes Schiff hat eine 8fache Tonnage.

Umgekehrt wird diese Tatsache von den Eisverkäufern ausgenutzt: Macht man (statt einer Preiserhöhung) die Eiskugel nur noch halb so „dick“, kann man aus 1 alten Kugel 8 neue machen. (Oder eleganter: Man reduziert den Durchmesser um nur 20% -was dem Auge kaum auffällt- und kommt so auf das halbe Volumen!)

Noch schlimmer wird das ”Verschätzen” wenn es sich um den 3-fachen (10-fachen) Durchmesser handelt.

Dann ändert sich das Volumen (und bei gleicher Dichte auch die Masse) um das 27-fache (1000-fache)!

 

Der Grund ist  der sogenannte Ähnlichkeits-Satz. Er sagt, dass sich das Volumen von ähnlichen Körpern wie die 3. Potenz von 2 miteinander vergleichbaren Längen verhält.

Demnach gilt für den 3-fachen Durchmesser:

Volumen =  33 = 3 x. 3 x 3 = 27

 

und für den 10-fachen Durchmesser:

Volumen = 10³ = 10 x. 10 x 10 = 1.000

 

 

Die Oberfläche der Kugel

Für die Oberfläche einer Kugel gilt die Formel:


A = π ×

Da der der größte Querschnitt der Kugel (die ”Äquatorialfläche”) π/4 x d2  ist, ergibt sich die Tatsache, dass die Oberfläche einer Kugel genau das 4-fache des größten Querschnitts beträgt!


 

Kennt man den Umfang und den Durchmesser, so lässt sich die Oberfläche der Kugel ohne π  ausrechnen. Sie ist -wie schon Archimedes beschrieb- gleich der Fläche des umhüllenden Zylinders:

A = U x d

 

Beispiel: Wie groß ist die Oberfläche der Erde?

Aus der Schule weiß ich noch:
Umfang der Erde = 40.000 km und Durchmesser = 12.000 km

Dann ist die Oberfläche = 40 x 12 = 480 und 1.000 x 1.000 = 1 Million,

also 480 Mio. km2

 

Tatsächlich sind es 9 % mehr, nämlich 510 Mio. km.

Der Grund: Der Durchmesser beträgt nicht 12.000 km, sondern am Äquator 12.756 und über die Pole 12.714 km. (Die Erde ist quasi 42 km "dicker" als "höher".)

 

 

Die Oberfläche eines Würfels beträgt das 6-fache des Querschnitts.

 

Die Kugel ist der ”engste” Körper, d.h. der Körper mit der geringsten Oberfläche. (Aus diesem Grund sind Seifenblasen oder Wassertropfen Kugeln und keine Würfel!)

Die Oberfläche des umgebenden Würfels (im Beispiel oben die Schachtel) beträgt
6
× d², was man sich anhand eines Spielwürfels sehr leicht vor Augen führen kann.

 
Das Verhältnis der Oberfläche der Kugel zur Oberfläche des Würfels beträgt dem­nach:

 
 π x d / 6 x d2   = π/6 = 0,5236...

 

 

Deshalb kann man überschlagsmäßig sagen, (wobei der Fehler 4,5 % beträgt - und man sich natürlich fragen muss, ob man mit dieser Ungenauigkeit leben kann!):

 

 

Die Oberfläche einer Kugel beträgt ca. 50 % der Würfelfläche

(wenn Kugeldurchmesser = Kantenlänge des Würfels)


 

Ein Beispiel aus der Feuerwehr-Praxis:

Für die Berieselung eines kugelförmigen Flüssiggas-Behälters sind 100 l Wasser je Stunde und Qua­dratmeter vorgeschrieben. Welche Wasserleistung muss für eine Kugel von 15 m Durchmes­ser sichergestellt sein? Wieviel Feuerlösch-kreiselpumpen werden benötigt?

 Lösung:

Wir stellen uns zunächst einen Würfel von 15 m Seitenlänge vor.

Dessen Oberfläche beträgt dann     6 Seiten a 15 m × 15 m = 1350 m2.

Da (wie in der o.g. Faustformel erläutert), die Oberfläche eine Kugel mit dem gleichen Durchmesser etwa die Hälfte beträgt, ergibt sich als Lösung für die Kugel:

                                      

            50 % von 1350 = ca. 700 m2.

 

Wenn für jeden Quadratmeter 100 l/h notwendig sind, muss insgesamt eine Wasserleistung von

 

          700 × 100 = 70.000 l/h vorgesehen werden.

Da die Feuerwehr die Literleistung meist in Liter pro Minute angibt, dividiert man diesen Wert durch 60 (1 Stunde = 60 min) und erhält

 

          70.000 : 60 = ca. 1200 l/min

 

Die Nenn-Leistung einer Feuerlösch-Kreiselpumpe beträgt etwa 800 l/min. Deshalb braucht man 2 Pumpen.

Kennen Sie vielleicht diesen Choral?

You don’t know what you got,
until it’s gone.

Cinderella

Störche und Geburten
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Haben Sie schon einmal über einen Imagefilm oder ein Animationsvideo nachgedacht?

 

Die Filmemacherin Anke Lanzon und ihre Firma Webfilm Berlin erstellen beeindruckende Unternehmensfilme für Webseiten.

 

Einfach mal `reinschauen:   

  http://www.webfilm-berlin.de/

Task Management
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Intelligenz und Fleiß
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Das gelungene, vollendete, erfüllte Leben ist eines, in dem wir in Einklang mit unsrer Natur das Beste aus unseren Möglichkeiten gemacht haben – selbstverständlich ohne den Mitmenschen zu schaden, ohne andere unglücklich zu machen.

 

Der Philosoph Bernulf Kanitscheider, Spektrum der Wissenschaft, Juli 2008

 

Des Menschen Tage sind wie Gras,
er blüht wie die Blume des Feldes.

Fährt der Wind darüber, ist sie dahin;
der Ort, wo sie stand, weiß von ihr nichts mehr.

 

Psalm 103

Es wäre doch möglich, dass einmal unsere Chemiker auf ein Mittel gerieten, unsere Luft plötzlich zu zersetzen, durch eine Art Ferment. So könnte die Welt untergehen.


Georg Christoph Lichtenberg

Letzte Worte des Indianerhäuptlings Crowfoot

Nur noch eine kurze Weile, dann bin ich von euch gegangen. Wohin, das kann ich euch nicht sagen. Wir kommen aus dem Nirgendwo, und wir gehen ins Nirgendwo. Was ist das Leben? Es ist der Lichtblitz eines Leuchtkäfers in der Nacht. Es ist der Atem eines Büffels im Winter. Es ist der kleine Schatten, der über das Gras huscht und sich im Sonnenuntergang verliert.

 

Crowfoot (um 1830 – 1890) Häuptling der Blackfoot-Indianer, 25. April 1890

 

Gespräch von Anno 33:

A: Wissen Sie schon das Neueste?

B: Nein, was ist passiert?

A: Die Welt ist erlöst!

B. Was Sie sagen!

A: Ja, der liebe Gott hat Menschengestalt angenommen und sich in Jerusalem hinrichten lassen: dadurch ist nun die Welt erlöst und der Teufel geprellt.

B: Ei, das ist ja ganz scharmant.

 

Arthur Schopenhauer

 

 

Damit wir beginnen können, dem Tod seinen größten Vorteil uns gegenüber zu entreißen, sollten wir eine vollkommen andere Einstellung einnehmen als die übliche; lasst uns den Tod seiner Fremdheit berauben; lasst uns Umgang mit ihm pflegen, damit wir uns an ihn gewöhnen, lasst uns an nichts häufiger denken als an den Tod.

 

Michel de Montaigne